Aprenda Matemática
Aprenda matemática, nível Fundamental, Médio e Superior. Atendo crianças, adolescentes, adultos e idosos. Supere suas dificuldades, desenvolva seu raciocínio, memória e atenção. Quebre seus bloqueios e supere seus medos. Ensino técnicas para superar ansiedade, medo, procrastinação, TDAH e até mesmo depressão.
Professor Rodolfo de Paula Ribeiro Junior
Graduado em Matemática pela UEM
Mestre em Matemática pela UEM
Doutorando em Matemática pela UNICAMP
(44)99848-8895
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Atividade 2 de Cálculo Diferencial e Integral I - Engenharia Híbrida Unicesumar
Semana 5 - Módulo 54/2020
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Atividade 2 de Cálculo 1 54/2020
Atividade de Estudo 2 - Semana 5
1ª QUESTÃO
Uma embalagem cilíndrica, aberta em cima, deve ter uma capacidade de 425π cm³. O custo do material usado para a base do recipiente é de R$ 0,18 por cm² e o custo do material usado na lateral é de R$ 0,06 por cm². Admitindo que não há perda de material, determine as dimensões (comprimento e raio) que minimizam o custo do material para construí-lo.
SOLUÇÃO:
Resposta: L=15,66 cm e r=5,21cm
Volume: V=425π cm³
Medida do raio da base em centímetros: r
Medida do Comprimento em centímetros (Altura do cilindro): h
Fórmulas:
Área da base: Sb
Sb=πr²
Volume: V
V=Sb·h=πr²h [1]
Áreal lateral: Sl
Sl=2πr·h [2]
Como V=425π, segue da equação [1] que
425π=πr²h
e assim
h=425/r² [3]
Substituindo na equação [2] o valor de h obtido na equação [3] obtemos
Sl=2πr·425/r²
Sl=2π·425/r
Sl=850π/r
Custo da base: Cb
Cb=0,18·Sb
Cb=0,18·πr²
Custo da Área Lateral: Cl
Cl=0,06·Sl
Cl=0,06·850π/r
Cl=51π/r
Custo total: Ct
Ct=Cb+Cl
Ct=0,18πr²+51π/r [4]
Observe que Ct é uma função de r, por isso vamos escrever Ct=Ct(r).
Assim a equação [4] toma a forma
Ct(r)=0,18πr²+51π/r
Queremos determinar o valor de r para o qual Ct(r) é mínimo:
Ct'(r)=0,36πr-51π/r²
0=0,36πr-51π/r²
0,36πr=51π/r²
r³=51/0,36
r=(51/0,36)^(1/3) [obs: (51/0,36)^(1/3) denota a raiz cúbica de (51/0,36)]
r≅5,21
Da equação [3] segue que para r≅5,21 o valor de h é
h=425/5,21² ≅15,66 [obs: esta aproximação não é tão boa quanto poderia]
Para garantir que r=(51/0,36)^(1/3)≅5,21 é um ponto de mínimo precisar determinar o sinal de Ct''((51/0,36)^(1/3)):
Ct''(r)=0,36π+102π/r³
Ct''((51/0,36)^(1/3))=0,36π+102π/[(51/0,36)^(1/3)]³=0,36π+102π/51/0,36≅3,39>0
Como Ct''((51/0,36)^(1/3))≅3,39>0, segue que o ponto r=(51/0,36)^(1/3) é um ponto de mínimo da função Ct(r).
Portanto o comprimento e o raio que minimizam o custo do material são
r≅5,21cm e h≅15,66cm
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Acompanhamento Cálculo Numérico