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Atividade 2 de Cálculo Diferencial e Integral I - Engenharia Híbrida Unicesumar

Semana 5 - Módulo 54/2020


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Atividade 2 de Cálculo 1 54/2020

Atividade de Estudo 2 - Semana 5

1ª QUESTÃO 

Uma embalagem cilíndrica, aberta em cima, deve ter uma capacidade de 425π cm³. O custo do material usado para a base do recipiente é de R$ 0,18 por cm² e o custo do material usado na lateral é de R$ 0,06 por cm². Admitindo que não há perda de material, determine as dimensões (comprimento e raio) que minimizam o custo do material para construí-lo.

SOLUÇÃO:

Resposta: L=15,66 cm e r=5,21cm

Volume: V=425π cm³

Medida do raio da base em centímetros: r

Medida do Comprimento em centímetros (Altura do cilindro): h

Fórmulas:
Área da base: Sb

Sb=πr²

Volume: V

V=Sb·h=πr²h                     [1]

Áreal lateral: Sl

Sl=2πr·h                           [2] 

Como V=425π, segue da equação [1] que

425π=πr²h

e assim

h=425/r²                          [3]

Substituindo na equação [2] o valor de h obtido na equação [3] obtemos

Sl=2πr·425/r²

Sl=2π·425/r

Sl=850π/r

Custo da base: Cb

Cb=0,18·Sb

Cb=0,18·πr²

Custo da Área Lateral: Cl

Cl=0,06·Sl

Cl=0,06·850π/r

Cl=51π/r

Custo total: Ct

Ct=Cb+Cl

Ct=0,18πr²+51π/r            [4]

Observe que Ct é uma função de r, por isso vamos escrever Ct=Ct(r).
Assim a equação [4] toma a forma

Ct(r)=0,18πr²+51π/r

Queremos determinar o valor de r para o qual Ct(r) é mínimo:

Ct'(r)=0,36πr-51π/r²

0=0,36πr-51π/r²

0,36πr=51π/r²

r³=51/0,36

r=(51/0,36)^(1/3)                    [obs: (51/0,36)^(1/3) denota a raiz cúbica de (51/0,36)]

r≅5,21
 

Da equação [3] segue que para r≅5,21 o valor de h é

h=425/5,21² ≅15,66               [obs: esta aproximação não é tão boa quanto poderia]

Para garantir que r=(51/0,36)^(1/3)≅5,21 é um ponto de mínimo precisar determinar o sinal de Ct''((51/0,36)^(1/3)):

Ct''(r)=0,36π+102π/r³

Ct''((51/0,36)^(1/3))=0,36π+102π/[(51/0,36)^(1/3)]³=0,36π+102π/51/0,36≅3,39>0

Como Ct''((51/0,36)^(1/3))≅3,39>0, segue que o ponto r=(51/0,36)^(1/3) é um ponto de mínimo da função Ct(r).

Portanto o comprimento e o raio que minimizam o custo do material são
r≅5,21cm e h≅15,66cm

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Atividade 1

Brasil © 2019 por Rodolfo de Paula
contato@autonomiaeliberdade.com

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