Mapa Cálculo I 2020      ⇩Role a tela para baixo⇩   Página Inicial clique aqui

​Atividade Mapa de Cálculo Diferencial e Integral I - Engenharia Híbrida Unicesumar

Módulo 54/2020

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Disciplinas que acompanho: Geometria Analítica e Álgebra Linear, Cálculo Diferencial e Integral I, Cálculo Diferencial e Integral II, Física I, Física II, Cálculo Numérico, Estatística, Resistência dos Materiais e Fenômenos de Transporte.

                                                       Mapa de Cálculo 1 54/2020

ETAPA I: DEFININDO O PONTO ÓTIMO: ARMAZENAMENTO E TRANSPORTE DE EQUIPAMENTOS MÉDICOS

Imagine que você trabalha como consultor(a) para indústrias de equipamentos médicos, e em um de seus trabalhos foi chamado pelo engenheiro de produção para auxiliá-lo na definição do novo ponto ótimo para o transporte e armazenamento dos equipamentos. O engenheiro utiliza o modelo de Wilson para predição, que basicamente divide esses custos em duas parcelas: a de posse e a de encomenda.

O custo total de aquisição, armazenamento e transporte é dado pela função C(x) que é a soma das funções f(x) e g(x). Assim: C(x) = f(x) + g(x) = A/x + Bx
Então o engenheiro de produção te traz a seguinte situação:
“...Antes da pandemia, nosso coeficiente de custo de transporte “A” era de 100000 R$.unidade, e o coeficiente de custo de aquisição e armazenamento “B” era de 10 R$/unidade. Nessas condições, o ponto ótimo de estocagem estava definido como 100 unidades. Atualmente, nosso coeficiente de custo de transporte passou a ser 350000 R$.unidade, e o coeficiente de custo de armazenamento tornou-se 50 R$/unidade. Nos ajude a definir qual o novo ponto ótimo de estocagem.”
Sabendo disso, responda as seguintes questões:

a) Defina a função custo C(x) de antes da pandemia, considerando A = 100000 e B = 10; calcule para essa função os limites quando x tende a 0 e quando x tende a infinito.

(0,2 pontos)

APENAS A RESPOSTA:

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b) Esboce o gráfico da função custo apresentada no item anterior, ou seja, a função custo de antes da pandemia. (0,2 pontos)
c) Substitua os novos valores de A e B dados pelo engenheiro, encontre a nova função custo C(x) e, utilizando seus conhecimentos de cálculo sobre os pontos de máximo e mínimo, defina qual o novo ponto ótimo de estocagem. (0,1 pontos)
APENAS A RESPOSTA:

C(x)=350000/x+50x

Determine C'(x)
Resolva a equação C'(x)=0
O novo ponto ótimo de estocagem é x=√(7000)

ETAPA II: OTIMIZAÇÃO DO TEMPO DE DESCARGA DE UM
DESFIBRILADOR AUTOMÁTICO

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Após os resultados obtidos na definição do novo ponto ótimo do custo de estocagem, você foi indicado(a) pelo engenheiro de produção para o engenheiro eletricista da empresa, que também desejava otimizar o projeto de seu sistema de descarga em um desfibrilador automático.
O aparelho desfibrilador em questão funciona por meio de um sistema em que um capacitor é carregado ao longo de um determinado tempo de carga, e então descarrega automaticamente a carga elétrica no paciente. Este processo se repete três vezes: a primeira carga ocorre mais rápido que a segunda carga, que por sua vez é mais rápida que a terceira carga. Dessa forma, o engenheiro ajustou três funções, uma para cada período de carga, sendo elas:

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1ª carga: Q₁(t)=100(1-e^(-t/2))

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2ª carga: Q₂(t)=100(1-e^(-t/4))

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3ª carga: Q₃(t)=100(1-e^(-t/6))

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em que: Q é o percentual de carregamento do capacitor, dado em [%]; t é o tempo de carregamento, dado em [s].
Com base nisso, o engenheiro lhe explicou a situação: “Para obter a carga total no capacitor, teríamos que deixar carregando infinitamente, ou seja, fazer o t tender a infinito. Como isso é inviável, resolvemos definir um parâmetro que indicasse uma capacidade ótima de carregamento. Foi definido que a variação de carga, ou seja, a derivada da função Q, fosse igual a 0,5. Dessa forma, nós obtemos a seguinte tabela para o desfibrilador:

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Essa semana encontramos um artigo médico concluindo que, para alcançar os resultados satisfatórios de reanimação, o valor da derivada de Q deve ser de 1,25. Precisamos que nos ajude a recalcular os tempos de carregamento e o tempo total de ciclo para atualizarmos o projeto desse desfibrilador.”
Sabendo disso, responda as seguintes questões:
a) Encontre as funções derivadas para a carga do capacitor. (0,5 pontos)

APENAS A RESPOSTA:

Q₁'(t)=50e^(-t/2)
Q₂'(t)=25e^(-t/4)

Q₃'(t)=(50/3)e^(-t/6)
 

b) A partir das funções encontradas no item anterior, e das funções de carga do capacitor, recalcule os valores dos tempos de carregamento e da carga alcançada para a nova  condição proposta pelo artigo e preencha a tabela abaixo. (0,5 pontos)

APENAS A RESPOSTA:

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ETAPA III: CÁLCULO DO VOLUME DE UM RESERVATÓRIO
DE SEGURANÇA EM UM RESPIRADOR

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A engenheira mecatrônica então lhe explica a situação:
“...Em nosso atual protótipo, toda essa vazão que o equipamento produz na partida está sendo desprezada. O que desejamos é armazenar esse gás em um reservatório de segurança, que deverá estar cheio no momento em que a produção e a demanda tiverem a mesma vazão, ou seja, após 50 minutos de operação. Como definimos o volume desse reservatório?”
a) Sabendo disso, e utilizando seus conhecimentos em integrais simples, calcule o volume total do reservatório de segurança. (0,5 pontos)

APENAS A RESPOSTA:

V=265,6mL

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ETAPA IV: CÁLCULO DO COMPRIMENTO DE UM
RESERVATÓRIO DE SEGURANÇA EM UM RESPIRADOR

Após finalizar o cálculo do volume do reservatório de oxigênio do respirador, o engenheiro mecânico solicitou seu auxílio. Ao observar sua revisão do projeto, ele percebeu que seria possível melhorar o projeto mecânico original, visando tornar o reservatório de segurança mais compacto e o equipamento, como um todo, mais leve.
Inicialmente, ele propôs que esse reservatório tivesse 500 ml de volume, e isso resultava em um reservatório com comprimento de 62,27 cm. Agora, ele pede seu auxílio para recalcular esse comprimento utilizando o novo volume calculado na etapa anterior e a função que, ao se fazer sua revolução em torno do eixo x, define-se a parede do reservatório. Tal função que define a parede do reservatório é expressa por:
h(x) =[(x/20)+1]^(1/2)
em que x é o comprimento do reservatório, dado em [cm].
a) A partir destas informações, calcule o novo comprimento do reservatório, em [cm], para o novo volume calculado na etapa anterior. Atenção! Comprimento negativo não tem sentido físico! (0,5 pontos)

APENAS A RESPOSTA:

x=41,5 cm