Mapa Cálculo I 2020      ⇩Role a tela para baixo⇩   Página Inicial clique aqui

​Atividade Mapa de Cálculo Diferencial e Integral I - Engenharia Híbrida Unicesumar

Módulo 54/2020


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Disciplinas que acompanho: Geometria Analítica e Álgebra Linear, Cálculo Diferencial e Integral I, Cálculo Diferencial e Integral II, Física I, Física II, Cálculo Numérico, Estatística, Resistência dos Materiais e Fenômenos de Transporte.

                                                       Mapa de Cálculo 1 54/2020

ETAPA I: DEFININDO O PONTO ÓTIMO: ARMAZENAMENTO E TRANSPORTE DE EQUIPAMENTOS MÉDICOS

Imagine que você trabalha como consultor(a) para indústrias de equipamentos médicos, e em um de seus trabalhos foi chamado pelo engenheiro de produção para auxiliá-lo na definição do novo ponto ótimo para o transporte e armazenamento dos equipamentos. O engenheiro utiliza o modelo de Wilson para predição, que basicamente divide esses custos em duas parcelas: a de posse e a de encomenda.

O custo total de aquisição, armazenamento e transporte é dado pela função C(x) que é a soma das funções f(x) e g(x). Assim: C(x) = f(x) + g(x) = A/x + Bx
Então o engenheiro de produção te traz a seguinte situação:
“...Antes da pandemia, nosso coeficiente de custo de transporte “A” era de 100000 R$.unidade, e o coeficiente de custo de aquisição e armazenamento “B” era de 10 R$/unidade. Nessas condições, o ponto ótimo de estocagem estava definido como 100 unidades. Atualmente, nosso coeficiente de custo de transporte passou a ser 350000 R$.unidade, e o coeficiente de custo de armazenamento tornou-se 50 R$/unidade. Nos ajude a definir qual o novo ponto ótimo de estocagem.”
Sabendo disso, responda as seguintes questões:

a) Defina a função custo C(x) de antes da pandemia, considerando A = 100000 e B = 10; calcule para essa função os limites quando x tende a 0 e quando x tende a infinito.

(0,2 pontos)

APENAS A RESPOSTA:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


b) Esboce o gráfico da função custo apresentada no item anterior, ou seja, a função custo de antes da pandemia. (0,2 pontos)
c) Substitua os novos valores de A e B dados pelo engenheiro, encontre a nova função custo C(x) e, utilizando seus conhecimentos de cálculo sobre os pontos de máximo e mínimo, defina qual o novo ponto ótimo de estocagem. (0,1 pontos)

APENAS A RESPOSTA:

C(x)=350000/x+50x

Determine C'(x)
Resolva a equação C'(x)=0

O novo ponto ótimo de estocagem é x=√(7000)


ETAPA II: OTIMIZAÇÃO DO TEMPO DE DESCARGA DE UM
DESFIBRILADOR AUTOMÁTICO

Após os resultados obtidos na definição do novo ponto ótimo do custo de estocagem, você foi indicado(a) pelo engenheiro de produção para o engenheiro eletricista da empresa, que também desejava otimizar o projeto de seu sistema de descarga em um desfibrilador automático.
O aparelho desfibrilador em questão funciona por meio de um sistema em que um capacitor é carregado ao longo de um determinado tempo de carga, e então descarrega automaticamente a carga elétrica no paciente. Este processo se repete três vezes: a primeira carga ocorre mais rápido que a segunda carga, que por sua vez é mais rápida que a terceira carga. Dessa forma, o engenheiro ajustou três funções, uma para cada período de carga, sendo elas:

1ª carga: Q₁(t)=100(1-e^(-t/2))

2ª carga: Q₂(t)=100(1-e^(-t/4))

3ª carga: Q₃(t)=100(1-e^(-t/6))

em que: Q é o percentual de carregamento do capacitor, dado em [%]; t é o tempo de carregamento, dado em [s].
Com base nisso, o engenheiro lhe explicou a situação: “Para obter a carga total no capacitor, teríamos que deixar carregando infinitamente, ou seja, fazer o t tender a infinito. Como isso é inviável, resolvemos definir um parâmetro que indicasse uma capacidade ótima de carregamento. Foi definido que a variação de carga, ou seja, a derivada da função Q, fosse igual a 0,5. Dessa forma, nós obtemos a seguinte tabela para o desfibrilador:

Essa semana encontramos um artigo médico concluindo que, para alcançar os resultados satisfatórios de reanimação, o valor da derivada de Q deve ser de 1,25. Precisamos que nos ajude a recalcular os tempos de carregamento e o tempo total de ciclo para atualizarmos o projeto desse desfibrilador.”
Sabendo disso, responda as seguintes questões:
a) Encontre as funções derivadas para a carga do capacitor. (0,5 pontos)

APENAS A RESPOSTA:

Q₁'(t)=50e^(-t/2)
Q₂'(t)=25e^(-t/4)

Q₃'(t)=(50/3)e^(-t/6)
 

b) A partir das funções encontradas no item anterior, e das funções de carga do capacitor, recalcule os valores dos tempos de carregamento e da carga alcançada para a nova  condição proposta pelo artigo e preencha a tabela abaixo. (0,5 pontos)

APENAS A RESPOSTA:

ETAPA III: CÁLCULO DO VOLUME DE UM RESERVATÓRIO
DE SEGURANÇA EM UM RESPIRADOR

A engenheira mecatrônica então lhe explica a situação:
“...Em nosso atual protótipo, toda essa vazão que o equipamento produz na partida está sendo desprezada. O que desejamos é armazenar esse gás em um reservatório de segurança, que deverá estar cheio no momento em que a produção e a demanda tiverem a mesma vazão, ou seja, após 50 minutos de operação. Como definimos o volume desse reservatório?”
a) Sabendo disso, e utilizando seus conhecimentos em integrais simples, calcule o volume total do reservatório de segurança. (0,5 pontos)

APENAS A RESPOSTA:

V=265,6mL

ETAPA IV: CÁLCULO DO COMPRIMENTO DE UM
RESERVATÓRIO DE SEGURANÇA EM UM RESPIRADOR


Após finalizar o cálculo do volume do reservatório de oxigênio do respirador, o engenheiro mecânico solicitou seu auxílio. Ao observar sua revisão do projeto, ele percebeu que seria possível melhorar o projeto mecânico original, visando tornar o reservatório de segurança mais compacto e o equipamento, como um todo, mais leve.
Inicialmente, ele propôs que esse reservatório tivesse 500 ml de volume, e isso resultava em um reservatório com comprimento de 62,27 cm. Agora, ele pede seu auxílio para recalcular esse comprimento utilizando o novo volume calculado na etapa anterior e a função que, ao se fazer sua revolução em torno do eixo x, define-se a parede do reservatório. Tal função que define a parede do reservatório é expressa por:
h(x) =[(x/20)+1]^(1/2)
em que x é o comprimento do reservatório, dado em [cm].
a) A partir destas informações, calcule o novo comprimento do reservatório, em [cm], para o novo volume calculado na etapa anterior. Atenção! Comprimento negativo não tem sentido físico! (0,5 pontos)

APENAS A RESPOSTA:

x=41,5 cm

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